ESTATICA: abril 2009

Para definir la posición de una ciudad nosotros siempre hablamos en términos de distancia (en km o m), de una dirección (sur, norte, oriente, occidente) y de altura o altitud.
La posición de Cartagena, desde Medellín, se puede expresar como una distancia 600 km, una dirección, norte, y una altitud, bajando 1500m.

Así para ubicar cualquier punto en el espacio necesitamos definir tres cantidades que pueden ser:

tres distancias perpendiculares entre si, por lo general se trazan paralelas a los ejes coordenados o 1 distancia total y dos direcciones o dos distancias y una dirección.

F = Fxi + Fyj + Fzk = Ö Fx2 + Fy2 + Fz2 = Fl å F = 0

Fx= FCosq x

Fy= FCosq y

Fz= FCosq z

El vector unitario se representa por l , y es aquel cuya magnitud es igual a 1 y tiene la misma dirección que F:

l = (Cosq xi + Cosq yj + Cosq zk)/ l

q x = Cos-1l i q y = Cos-1l j q z = Cos-1l k

Nota: El principio de Transmisibilidad que nos permite mover las fuerzas a lo largo de su línea de acción será de gran utilidad

Al trazar el vector de posición, rOA , el cual llamaremos A, nos damos cuenta que este se puede expresar como la suma de tres vectores paralelos a los ejes coordenados, donde estos vectores corresponden a las componentes rectangulares de ese vector en el espacio:

Como ya sabemos la suma de estos tres vectores se realiza por el método de cabeza y cola y cumple la ley conmutativa de la adición, esto quiere decir que nos podemos ir por cualquier camino siguiendo líneas paralelas a los ejes coordenados y siempre llegaremos al punto A.

También se sabe que la ubicación de un punto se puede conocer si se conocen dos distancias y una dirección. En este caso el vector de posición del punto A,

se puede expresar como la suma de dos vectores perpendiculares entre sí:

Donde

es la proyección del vector

en el plano XY y

es la proyección del vector sobre el eje Z. Estos tres vectores forman un triángulo rectángulo donde la diagonal es el vector

resultante de la suma de los dos catetos (ver figura).
Proyecciones de

Magnitud de un vector en el espacio: considerando las componentes rectangulares podemos determinar la magnitud si trabajamos con triángulos rectángulos y aplicando Pitágoras.

La magnitud de un vector en el espacio es la raíz de la suma de los cuadrados de las magnitudes de sus componentes.

La magnitud del vector unitario

es 1, por lo tanto:

, de lo cual podemos concluir que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a 1. Esta igualdad nos permite conocer un ángulo director, si conocemos los otros dos.

Regla de la mano derecha: para colocación de los ejes x,y, z. Los ejes coordenados en el espacio deben cumplir con una convención de rotaciones que llamamos la regla de la mano derecha. Colocando los dedos de la mano derecha sobre el eje X positivo y produciendo un giro hacia el eje Y positivo encuentro el eje Z positivo con mi dedo pulgar. Recuerdo que Z es perpendicular al plano XY.

Vector de posición en el espacio: Igual que en dos dimensiones, podemos expresar la posición de un punto con respecto a otro por medio de un vector. Para ir del punto A al punto B, o definir la posición de B con respecto a A, no es mas que avanzar de A a B en forma paralela a los ejes coordenados, encontrando las distancias netas paralelas a ellas.

Una partícula está en equilibrio si la resultante de todas sus fuerzas es cero, por tanto, se debe cumplir lo siguiente:

$\sum$ Fx = 0

$\sum$ Fy = 0

$\sum$ Fz = 0

Estas ecuaciones se utilizan para resolver problemas que tratan con el equilibrio de una partícula, en la que no hay más de tres incógnitas.

Método a seguir:

Hacer un diagrama de cuerpo libre que muestre todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.
Escribir las ecuaciones de equilibrio.
Resolver.

$\digamma = \digamma x i + \digamma y j + \digamma z k$

EJEMPLO:

F = 12 i + 20 j - 30 k

Encontrar los angulos con respecto a los ejes x, y, z.

Ejemplo:

La tension en el alambre es de 2500 N F

a) Determine las compnentes fx, fy, fz de la fuerza que actua en A.

b) los angulos que $\theta x , \theta y, \theta z$ que definen la direccion de la fuerza.

Un vector físico es una magnitud física caracterizable mediante un punto de aplicación u origen, una magnitud o módulo, una dirección y un sentido; o alternativamente por un número de componentes independientes tales que los componentes medidas por diferentes observadores sean relacionables de manera sistemática.

Existe la necesidad de explicar fenómenos físicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las cuatro características mencionadas anteriormente:

Punto de aplicación u origen.

Magnitud o módulo: determina el tamaño del vector.
Dirección: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.

Sentido: determina hacia qué lado de la recta de acción apunta el vector.

Caracteristicas:

METODOS DE SOLUCION

Método del paralelogramo

Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en los puntos, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores. Este metodo es aplicado dentro de la existencia de 2 fuerzas las cuales tienen angulo de separacion entre las 2 de tal forma que al realizar la proyeccion o traslacion de cada una de ellas formemos un cuadrilatero y que para esto es importante considerar que para la solucion se deben emplear dos condiciones el metodo matematico que consiste en emplear un calculo de la fuerza resultante la ley de los cosenos, la cual establece la apertura del angulo entre la combinacion de un triangulo de 90º y un triangulo mayor o menor de 90º.

SUMA DE VECTORES

$\vec{a}+ \vec{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) + (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})$

ordenando los componentes:

$\vec{a}+ \vec{b} = (a_x + b_x) \hat{i} + (a_y + b_y) \hat{j} + (a_z + b_z) \hat{k}$

Pongamos un ejemplo numérico:

$\vec{a} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 4 \hat{k}$
$\vec{b} = -4 \hat{i} + 6 \hat{j} -2 \hat{k}$

el resultado:

$\vec{a}+ \vec{b} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 4 \hat{k}) + (-4 \hat{i} + 6 \hat{j} -2 \hat{k})$

agrupando términos:

$\vec{a}+ \vec{b} = (3 - 4) \hat{i} + (5 + 6) \hat{j} + (-4 - 2) \hat{k}$

esto es:

$\vec{a}+ \vec{b} = - \hat{i} + 11 \hat{j} - 6 \hat{k}$

RESULTANTE DE DOS VECTORES:

La resultante de dos vectores es equivalente a su suma:

Las fuerzas se presentan como vectores:

Solucion trigonometrica:

Solucion aplicando la LEY DE COSENOS

Se denominan así a la relación existente entre ángulos y catetos opuestos en un triángulo oblicuo. Un triángulo oblicuo se denomina a un triángulo que no es rectángulo.

$a=\sqrt{b^2 + c^2 -2bc Cos0}$

$R=\sqrt{40^2 + 60^2 -2(40)(60) Cos155}$

SEGUNDO EJEMPLO:

Una barra es arrastrada por dos remolques si el total de las fuerzas ejercidas al eje de la barra, determine la tension de cada una de las cuerdas.

Diagrama de cuerpo libre

Solucion:

FUERZAS CONCURRENTES

Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes. La resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas. Se trata de un problema de equivalencia por composición, ya que los dos sistemas (las fuerzas componentes por un lado, y la fuerza resultante, por el otro) producen el mismo efecto sobre un cuerpo. En el ejemplo que veremos a continuación vamos a hallar la resultante en forma gráfica y en forma analítica.

Encuentre la resultante:

Metodos:

Ley del paralelogramo- base para metodo grafico
Tigronometrico
Vectorial

Usando metodo trigonometrico encuentre la resultante

P = 30 N

Q = 40 N

R = 60 N

COMPONENETES RECTANGULARES DE UN VECTOR R2 (2 DIMENSIONES)

Representar un vector como una flecha es una definición útil para nuestros propósitos.

Ejemplos conocidos en esta dirección son la velocidad, la aceleración de gravedad g, las fuerzas, etc. .

> Un vector involucra magnitud , dirección y sentido.

> La magnitud de un vector es el largo de la flecha,

> La dirección es la línea sobre la cual descansa y

> El sentido indica hacia donde apunta. Veamos un ejemplo:

Representación Geométrica

La proyección en los ejes coordenados x e y, introduce naturalmente una nueva notación: Los vectores representados con una cuña en su parte superior representan vectores de magnitud unitaria y que tienen dirección y sentido de acuerdo al eje X (abscisa) e Y (ordenada) respectivamente.

Los vectores representados con una cuña en su parte superior representan vectores de magnitud unitaria y que tienen dirección y sentido de acuerdo al eje X (abscisa) e Y (ordenada) respectivamente.

Descripción Algebraica

Otra forma de describir un vector es mediante un par ordenado de números. En el caso de dos dimensiones, en el primer casillero se anota la magnitud de la proyección del vector en el eje X y en el segundo casillero, se incluye la proyección del vector en el eje Y.

Para todas las notaciones que figuran se puede hacer el paso inverso, esto es obtener la magnitud del vector teniendo las componentes de las abscisas y las ordenadas de este aplicando el teorema de Pitágoras.

Para encontrar el angulo $\theta$

$\theta = Tan^-^1 \frac{Ry}{Rx}$

Ejemplos:

Una fuerza de 700Lb y otra de 1500Lb se aplica a un perno determine la magnitud de la fuerza y el angilo que forma con la horizontal.

Ejemplo numero 2:

Un hombre jala una cuerda atada a un edificio cion una fuerza de 300N como se muestra en la fig. Cuales son los componentes horizontales y verticales de la fuerza ejercida en el punto A?.